Kurs: Komplexe Zahlen, Elemente der Funktionentheorie
(ma-Z9 im Rahmenplan Mathematik)                                                              D. Rönsch

Allgemeine Information:
Die Komplexen Zahlen werden in der Schule nur im Rahmen des Profilkurses Mathematik behandelt und dort wegen der einsemestrigen Zweistündigkeit nur sehr verkürzt, an den Hochschulen erfolgt dagegen der Einstieg in die Mathematik (sowohl für die Mathematik als auch bei technischen Studiengängen) häufig unmittelbar mit Hilfe bzw. unter Benutzung der Komplexen Zahlen. Die Kenntnis algebraischer Strukturen erleichtert den Zugang.

Was sind die Komplexen Zahlen?

In der Mathematik wird danach gestrebt, für möglichst viele Probleme aus den Naturwissenschaften und der Technik eine geeignete Beschreibung zu finden und Methoden zu entwickeln, diese zu lösen. Dabei spielen Gleichungen und Funktionen eine herausragende Rolle.

Umso erstaunlicher ist es, dass schon einfache Gleichungen im üblichen Zahlenbereich der reellen Zahlen keine Lösung haben:
Beispiel:   x²+1 = 0.

Hier entwickelte der deutsche Mathematiker C. F. Gauß einen Ausweg und schuf den Übergang zu den komplexen Zahlen. In der nach ihm benannten Zahlenebene hat jede quadratische Gleichung genau zwei, jede Gleichung dritten Grades genau drei Lösungen und jede Gleichung n-ten Grades genau n Lösungen. Funktionen beschreiben Zuordnungen zwischen komplexen Zahlen, lassen sich als Flächen und Körper deuten.

Die komplexen Zahlen bilden auch die Basis für die Welt der Fraktale, die vom amerikanischen Mathematiker B. Mandelbrot popularisiert und untersucht wurden.

Wer sollte den Kurs belegen?
Empfehlenswert ist dieser Kurs für alle die Mathematik, ein naturwissenschaftliches oder  ein wirtschaftliches Fach studieren wollen.

In welchem Semester kann ich diesen Kurs belegen?

Der Kurs kann von allen belegt werden, die in der Q-Phase sind.

Inhalt:

• komplexe Zahlen, Gauß’sche Zahlenebene, Polarkoordinaten, Körperaxiome,
• Menge der komplexen Zahlen als Körper, algebraische und geometrische Darstellung sowie Rechenregeln
• lineare und einfache nicht lineare Funktionen, Stetigkeit und Differenzierbarkeit, Übertragen der aus der reellen Analysis bekannten Begriffe und Zusammenhänge auf komplexe Funktionen
• Kreisbewegungen und Schwingungen: Verwenden von für periodische Vorgänge
• Ggf. Einführung in die Welt der Fraktale

Fachliche Kompetenz:
Die Teilnehmer lernen, wie komplexer Zahlen in der Gauß´schen Zahlenebene dargestellt werden und wie man mit Ihnen rechnet. Das selbstständige Lösen algebraischer Gleichungen und die Beschreibung periodischer Vorgänge mit komplexen Zahlen sind ein wesentliches Ziel.
Die Kenntnisse grundlegender Eigenschaften von Funktionen werden auf komplexe Funktionen übertragen. Die Anwendung der Mathematik wird bei der modellhaften Beschreibung der Realität mit Methoden der Mathematik erlebbar gemacht.